阶梯形矩阵

阶梯形矩阵

为适应用消元法解线性方程组的需要，我们有下列定义。

定义 3.3. 阶梯形矩阵

一个 m×n 矩阵 A=(aij​)mn​ 称为 阶梯形矩阵，如果其满足

若某行中每个元素都为 0 , 那么位于该行下面各行元素也全为 0 ;

若有非零元素且非零元素出现于前 r 行，设第 i(i=1,2,⋯,r) 行中左起第 1 个非零元素为 aiji​​ ，

则有 j1​

也就是说，各个非零行的左起第一个非零元素的列指标由上至下严格递增。

根据这个定义, 阶梯形矩阵的形状为

​00⋮00⋮0​⋯⋯⋯⋯⋯​00⋮00⋮0​a1j1​​0⋮00⋮0​⋯⋯⋯⋯⋯​a1j2​−1​0⋮00⋮0​a1j2​​a2j2​​⋮00⋮0​⋯⋯⋯⋯⋯​a1jr​​a2jr​​⋮arjr​​0⋮0​⋯⋯⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮arn​0⋮0​​(3.1)

其中 a1j1​​,a2j2​​,⋯,arjr​​ 均不为零。

例如，

​1000​0−100​4100​−2−130​1000​​

​000​200​−100​060​​

​000​000​000​000​​

都是阶梯形矩阵.

定理 3.1 总等价于阶梯形矩阵

以后我们用 ” A⟶B “表示 A 经一次（或几次）初等变换化成 B 。下面给出一个例子。

例题 2.3.1

如果不局限于初等行变换，定理3.1可加强为定理3.2.

定理 3.2 总等价于等价标准形

定理 3.2 断言每个 m×n 矩阵都可经过一系列初等变换化成 (3.2) 的形状.

定理3.2的证明建立在定理3.1的基础上，即先把 A 化成阶梯形，然后化成 (3.2) 的形状.

但实际计算时不必先化成阶梯形，而根据需要选择行变换和列变换的顺序。

若 A 与（3.2）的矩阵等价，则后者称为 A 的 等价标准形。

等价标准形中 ” 1 “的个数是一个重要的数据。